Vous pensez tout savoir sur la loi d’Ohm ?

Introduction : la double face d’une loi fondamentale

La loi d’ohm, formulée par la relation simple et élégante \(U = R \cdot I\), constitue l’une des pierres angulaires de l’électrocinétique et de l’ingénierie électrique. Sa puissance prédictive et sa facilité d’application en font un outil indispensable pour l’analyse et la conception de circuits électriques, des plus simples aux plus complexes. Cependant, cette apparente simplicité masque une réalité physique d’une richesse et d’une complexité extraordinaires. La loi d’ohm est une loi macroscopique, décrivant le comportement global d’un composant, mais ce comportement est le résultat agrégé des interactions de milliards de milliards de porteurs de charge, typiquement des électrons, au sein de la structure atomique du matériau.

Cette analyse se heurte à un paradoxe fondamental. À l’échelle microscopique, un conducteur métallique est le théâtre d’un chaos incessant. Ses électrons de conduction, formant ce qu’on appelle un « gaz d’électrons », sont animés d’une agitation thermique désordonnée à des vitesses prodigieuses, de l’ordre de \(10^6\) m/s (3 600 000 km/h ou 1000 km/s !). Pourtant, le courant électrique responsable des phénomènes que nous observons est le produit d’un mouvement d’ensemble, une « dérive » collective de ces mêmes électrons, dont la vitesse moyenne est extraordinairement faible, souvent de l’ordre de \(10^{-4}\) m/s (0,00036 km/h), soit à peine quelques centimètres par heure.

La problématique centrale est donc celle de l’émergence : comment l’ordre prédictible et la relation de proportionnalité linéaire de la loi d’ohm macroscopique émergent-ils du comportement statistique et fondamentalement chaotique de ces porteurs de charge à l’échelle atomique ? Pour répondre à cette question, il est nécessaire de plonger au cœur de la matière et de construire un pont conceptuel et mathématique entre deux mondes : celui des grandeurs mesurables à notre échelle (tension, courant) et celui des interactions fondamentales (champ électrique, forces, collisions).

Déconstruire la loi d’ohm pour en révéler les fondements. Nous commencerons par définir rigoureusement ses deux formulations, macroscopique et microscopique, afin d’établir le cadre de notre analyse. Ensuite, nous explorerons le modèle de Drude, une théorie classique mais remarquablement efficace, qui nous fournira le cadre physique pour comprendre la dynamique des électrons dans un métal. À partir de ce modèle, nous dériverons les grandeurs microscopiques clés comme la vitesse de dérive et la conductivité. L’étape culminante de notre analyse sera la synthèse mathématique qui démontre comment la loi macroscopique \(U = R \cdot I\) est une conséquence directe et inévitable de la loi microscopique \(\vec{j} = \sigma \vec{E}\). Enfin, pour offrir une perspective complète, nous examinerons les limites de ce modèle et explorerons le comportement des matériaux dits « non ohmiques », où cette belle simplicité s’effondre, nous révélant par contraste les conditions précises de validité de la loi d’ohm.

Partie 1 : la loi d’ohm : une perspective à deux échelles

Pour comprendre comment la loi d’ohm relie les mondes microscopique et macroscopique, il est impératif de commencer par une définition claire et distincte de ses formulations à chaque échelle. Bien qu’elles décrivent le même phénomène de conduction électrique, elles opèrent avec des grandeurs et des perspectives conceptuelles radicalement différentes.

1.1. Formulation macroscopique : la relation empirique \(U = R \cdot I\)

la loi d’ohm, telle qu’elle est enseignée et utilisée dans la grande majorité des contextes pratiques, est une loi macroscopique qui lie trois grandeurs globales, mesurables aux bornes d’un composant électrique.

• La tension ou différence de potentiel (\(U\)) : exprimée en volts (V), elle représente la différence d’énergie potentielle électrique par unité de charge entre deux points d’un circuit. C’est la « pression » qui pousse les charges à se déplacer.
• L’intensité du courant (\(I\)) : exprimée en ampères (A), elle quantifie le débit de charge électrique, c’est-à-dire la quantité de charge qui traverse une section donnée du conducteur par unité de temps.
• La résistance (\(R\)) : exprimée en ohms (\(\Omega\)), elle caractérise l’opposition du composant au passage du courant. C’est une mesure de la « difficulté » que rencontrent les charges à traverser le dipôle.

La loi d’ohm s’énonce alors par la célèbre équation \(U = R \cdot I\). Il est crucial de comprendre que cette relation est, à l’origine, une observation empirique. Georg Ohm a découvert expérimentalement que pour une large classe de matériaux, notamment les métaux maintenus à température constante, la tension aux bornes d’un conducteur est directement proportionnelle à l’intensité du courant qui le traverse. La caractéristique \(U = f(I)\) de ces conducteurs, dits « ohmiques », est une droite passant par l’origine, dont la pente est précisément la résistance \(R\). La résistance \(R\) est donc une propriété du composant dans son ensemble ; elle dépend non seulement du matériau dont il est fait, mais aussi de ses dimensions physiques (longueur, section).

1.2. Formulation microscopique : la relation locale \(\vec{j} = \sigma \cdot \vec{E}\)

Pour sonder les origines de la résistance, il faut changer d’échelle et examiner ce qui se passe en un point infinitésimal à l’intérieur du matériau. À ce niveau, la conduction est décrite par une relation vectorielle locale, souvent considérée comme plus fondamentale.

• Le champ électrique (\(\vec{E}\)) : exprimé en volts par mètre (V/m), c’est un champ de vecteurs qui décrit la force électrique qui s’exercerait sur une charge unité en chaque point de l’espace. C’est la cause première du mouvement des charges dans le conducteur.
• La densité de courant (\(\vec{j}\)) : exprimée en ampères par mètre carré (A/m²), c’est un champ de vecteurs qui décrit l’intensité et la direction du flux de charge en chaque point. Sa magnitude représente le courant par unité de surface perpendiculaire au flux.

La loi d’ohm locale (ou microscopique) stipule qu’en tout point d’un matériau ohmique, le vecteur densité de courant est directement proportionnel au vecteur champ électrique : \(\vec{j} = \sigma \vec{E}\). Le coefficient de proportionnalité, \(\sigma\), est la conductivité électrique du matériau (en siemens par mètre, S/m). Son inverse, \(\rho = 1/\sigma\), est la résistivité électrique (en ohm-mètres, \(\Omega \cdot\)m). Contrairement à la résistance \(R\), la conductivité \(\sigma\) et la résistivité \(\rho\) sont des propriétés intrinsèques du matériau, indépendantes de sa forme ou de sa taille. Elles ne dépendent que de la nature atomique du matériau et de son état physique (notamment la température).

Exemple concret de calcul dans la pratique (fabrication OM) :

Tableau comparatif et distinction fondamentale

La distinction entre ces deux formulations est au cœur de notre analyse. La loi macroscopique est une relation intégrée qui s’applique à un objet fini, où la résistance \(R\) mélange les effets de la nature du matériau et de sa géométrie. La loi microscopique est une relation différentielle, locale, qui décrit la réponse fondamentale du matériau lui-même à une sollicitation électrique. Le passage de l’une à l’autre est un exercice d’intégration qui révèle comment la géométrie du conducteur module la propriété intrinsèque de résistivité pour donner naissance à la résistance globale. Le tableau suivant synthétise cette dualité conceptuelle.

Tableau 1 : comparaison des échelles de la loi d’ohm

La question centrale est désormais posée : comment la relation fondamentale \(\vec{j} = \sigma \vec{E}\) peut-elle être démontrée à partir des premiers principes de la dynamique des électrons, et comment, une fois établie, permet-elle de dériver la relation empirique \(U = R \cdot I\) ? La réponse se trouve dans le modèle de Drude.

Partie 2 : le modèle de Drude : au cœur de la conduction métallique

Pour comprendre l’origine de la loi d’ohm microscopique, il faut un modèle physique décrivant le comportement des porteurs de charge au sein d’un conducteur. Proposé par Paul Drude en 1900, seulement trois ans après la découverte de l’électron, le modèle de Drude est une théorie classique qui, malgré ses simplifications, offre une intuition physique remarquablement juste de la conduction métallique et permet de dériver la loi d’ohm.

2.1. Le gaz d’électrons libres et le réseau cristallin

Le modèle de Drude repose sur un ensemble d’hypothèses simples mais puissantes pour décrire la structure d’un métal :

• Le gaz d’électrons : un métal est modélisé comme un réseau fixe d’ions positifs (les atomes ayant perdu un ou plusieurs électrons de valence) baignant dans un « gaz » d’électrons de conduction. Ces électrons, détachés de leurs atomes parents, sont libres de se déplacer dans tout le volume du cristal. La densité de ces électrons libres, notée \(n\) (en électrons/m³), est très élevée dans les métaux.
• Approximation des électrons libres et indépendants : le modèle néglige les interactions électrostatiques entre les électrons eux-mêmes, ainsi que l’attraction des électrons par les ions du réseau, sauf durant les instants de « collision ». Entre deux collisions, un électron est considéré comme une particule libre, ne subissant que l’effet d’éventuels champs électriques ou magnétiques externes.
• La nature des collisions : le mouvement des électrons est constamment interrompu par des collisions. Drude supposait que ces collisions se produisaient avec les ions fixes du réseau. Une vision plus moderne, mais conceptuellement équivalente dans ce cadre, est que les collisions se produisent avec les imperfections du réseau et les vibrations thermiques de celui-ci (les phonons). Ces collisions sont supposées être des événements instantanés et aléatoires.
• Relaxation statistique : après une collision, un électron est supposé « oublier » sa vitesse antérieure. Sa nouvelle vitesse est aléatoire, avec une direction et une magnitude déterminées par l’équilibre thermique local. En l’absence de champ électrique, la vitesse moyenne des électrons après collision est nulle.

2.2. La dynamique de l’électron : entre accélération et collisions

Le modèle de Drude analyse la dynamique d’un électron moyen en considérant l’équilibre entre deux forces opposées : une force motrice due au champ électrique et une force de freinage due aux collisions.

La force motrice (force de Coulomb)

Lorsqu’un champ électrique externe \(\vec{E}\) est appliqué au conducteur (par exemple, en connectant ses extrémités à une pile), chaque électron libre, de charge \(q = -e\) (où \(e\) est la charge élémentaire), subit une force électrostatique (ou force de Coulomb) constante, donnée par :
\[ \vec{F}_{elec} = q\vec{E} = -e\vec{E} \]
Selon la deuxième loi de Newton, si cette force était la seule à agir, l’électron subirait une accélération constante \(\vec{a} = \vec{F}_{elec} / m_e\) (où \(m_e\) est la masse de l’électron) et sa vitesse augmenterait indéfiniment. Ceci est en contradiction évidente avec l’observation d’un courant stable et constant pour une tension constante.

Pour rappel : m_e = 9,1093837015 × 10^-31 kg (au repos)

Le mécanisme de freinage (collisions)

C’est ici que les collisions jouent leur rôle fondamental. Chaque collision réinitialise le gain de vitesse que l’électron a acquis sous l’effet du champ électrique. Le mouvement d’un électron est donc une succession de courtes phases d’accélération entrecoupées de collisions qui le freinent et réorientent sa trajectoire de manière aléatoire.

Plutôt que de modéliser chaque collision discrète, le modèle de Drude adopte une approche statistique et phénoménologique. Il représente l’effet net de ces innombrables collisions par une force de freinage ou de frottement visqueux moyenne, qui s’oppose au mouvement d’ensemble des électrons. Cette force est supposée être proportionnelle à la vitesse moyenne du gaz d’électrons, \(\vec{v}\). On peut l’écrire sous la forme :
\[ \vec{F}_{drag} = – \frac{m_e}{\tau} \vec{v} \]
le paramètre \(\tau\) est une grandeur statistique cruciale : c’est le temps de relaxation ou temps libre moyen entre les collisions. Il représente la durée moyenne pendant laquelle un électron est accéléré par le champ électrique avant d’être stoppé net par une collision. Cette force de frottement n’est pas une force fondamentale de la nature, mais un artifice de modélisation extraordinairement puissant. Il capture l’effet statistique moyen de milliards d’événements stochastiques (les collisions) par une seule expression déterministe. La proportionnalité à la vitesse \(\vec{v}\) est intuitive : plus le mouvement d’ensemble des électrons est rapide, plus la quantité de mouvement dirigée perdue à chaque collision aléatoire est importante, et donc plus l’effet de freinage moyen est grand.

L’équation fondamentale du mouvement pour un électron moyen dans le modèle de Drude, combinant l’accélération et le freinage, devient donc une équation différentielle :
\[ m_e \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{F}_{elec} + \vec{F}_{drag} = -e\vec{E} – \frac{m_e}{\tau} \vec{v} \]
Cette équation contient toute la physique nécessaire pour dériver la loi d’ohm à partir des premiers principes de la mécanique classique.

Partie 3 : des phénomènes microscopiques aux grandeurs caractéristiques

L’équation du mouvement établie par le modèle de Drude permet de dériver les grandeurs clés qui caractérisent la conduction à l’échelle microscopique : la vitesse de dérive, la mobilité, et finalement, la conductivité du matériau.

3.1. L’équilibre dynamique : vitesse de dérive (\(v_d\)) et mobilité (\(\mu\))

Lorsque le champ électrique \(\vec{E}\) est appliqué, les électrons commencent à accélérer. Cependant, la force de freinage \(\vec{F}_{drag}\) augmente avec leur vitesse. Très rapidement (en quelques \(\tau\), soit de l’ordre de \(10^{-14}\) s dans les métaux), un régime permanent est atteint. Dans ce régime, la force d’accélération due au champ électrique est exactement compensée par la force de freinage moyenne due aux collisions. L’accélération nette du gaz d’électrons devient nulle (\(d\vec{v}/dt = 0\)), et les électrons se déplacent alors à une vitesse moyenne constante, appelée la vitesse de dérive, notée \(\vec{v}_d\).

Cet équilibre dynamique se traduit par l’équation :
\[ \vec{F}_{elec} + \vec{F}_{drag} = 0 \]
\[ -e\vec{E} – \frac{m_e}{\tau} \vec{v}_d = 0 \]
En résolvant pour \(\vec{v}_d\), on obtient une expression fondamentale pour la vitesse de dérive :
\[ \vec{v}_d = – \left( \frac{e\tau}{m_e} \right) \vec{E} \]
Ce résultat est capital. Il montre que la vitesse moyenne du flux d’électrons n’est pas proportionnelle au temps (comme ce serait le cas pour une accélération continue), mais est directement proportionnelle au champ électrique appliqué. Le signe négatif indique que les électrons (charge négative) dérivent dans la direction opposée au champ électrique.

Le terme entre parenthèses, \((e\tau / m_e)\), regroupe des constantes fondamentales (\(e, m_e\)) et une propriété du matériau (\(\tau\)). On définit cette quantité comme la mobilité des porteurs de charge, notée \(\mu\) :
\[ \mu = \frac{e\tau}{m_e} \]
la mobilité, exprimée en m²/(V·s), est une mesure de la facilité avec laquelle les porteurs de charge se déplacent dans le matériau sous l’influence d’un champ électrique. Une mobilité élevée signifie que pour un champ donné, les porteurs atteignent une vitesse de dérive élevée, soit parce que le temps entre les collisions (\(\tau\)) est long, soit parce que leur masse effective est faible. La relation entre la vitesse de dérive et le champ électrique se simplifie alors élégamment :
\[ \vec{v}_d = -\mu\vec{E} \]

3.2. L’émergence de la conductivité (\(\sigma\)) et de la résistivité (\(\rho\))

La dernière étape consiste à relier ce mouvement microscopique des charges à la grandeur macroscopiquement pertinente qu’est la densité de courant \(\vec{j}\).

La densité de courant est définie comme le produit de la densité de porteurs de charge (\(n\)), de la charge de chaque porteur (\(q\)), et de leur vitesse de dérive moyenne (\(\vec{v}_d\)) :
\[ \vec{j} = nq\vec{v}_d \]
Pour les électrons dans un métal, \(q = -e\), donc :
\[ \vec{j} = n(-e)\vec{v}_d \]
Nous pouvons maintenant substituer l’expression de la vitesse de dérive que nous venons de dériver (\(\vec{v}_d = – (e\tau / m_e) \vec{E}\)) dans cette équation :
\[ \vec{j} = n(-e) \left[ – \left( \frac{e\tau}{m_e} \right) \vec{E} \right] \]
\[ \vec{j} = \left( \frac{ne^2\tau}{m_e} \right) \vec{E} \]
Cette équation, dérivée des premiers principes du modèle de Drude, a exactement la forme de la loi d’ohm microscopique, \(\vec{j} = \sigma\vec{E}\). Par une simple identification terme à terme, nous obtenons une expression théorique pour la conductivité électrique en fonction des paramètres microscopiques fondamentaux du matériau :
\[ \sigma = \frac{ne^2\tau}{m_e} \]
la résistivité, étant l’inverse de la conductivité, est donc :
\[ \rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{m_e}{ne^2\tau} \]
Cette dernière équation est l’un des résultats les plus profonds du modèle de Drude. Elle offre une intuition physique puissante sur l’origine de la résistance électrique. La résistivité d’un matériau est la manifestation directe des obstacles rencontrés par les électrons. Elle est :

• Inversement proportionnelle à la densité de porteurs (\(n\)) : moins il y a de porteurs de charge disponibles (comme dans un isolant), plus la résistivité est élevée.
• Inversement proportionnelle au carré de la charge (\(e^2\)) : la force motrice dépend de la charge, et le courant dépend à la fois de la charge et de la vitesse qu’elle induit.
• Inversement proportionnelle au temps de relaxation (\(\tau\)) : c’est le facteur le plus important. Plus les collisions sont fréquentes (donc \(\tau\) est petit), plus le mouvement des électrons est entravé, et plus la résistivité est grande. C’est ce terme qui explique principalement la dépendance de la résistivité à la température : une augmentation de la température accroît l’agitation thermique des ions du réseau, ce qui augmente la probabilité de collision pour un électron, diminue \(\tau\), et donc augmente la résistivité \(\rho\).

Nous avons ainsi démontré comment la loi d’ohm microscopique émerge naturellement de la dynamique d’un gaz d’électrons soumis à une force électrique et à un freinage par collisions.

Partie 4 : synthèse : la dérivation de la loi d’ohm macroscopique

Nous avons maintenant établi tous les éléments nécessaires pour construire le pont entre les deux échelles. La tâche consiste à intégrer la loi locale et microscopique \(\vec{j} = \sigma\vec{E}\) sur la géométrie d’un conducteur fini pour retrouver la loi globale et macroscopique \(U = R \cdot I\). Pour ce faire, considérons le cas simple mais fondamental d’un fil conducteur homogène, de section transversale constante \(A\) et de longueur \(L\).

4.1. Du mouvement des charges (\(v_d\)) au courant total (\(I\))

le courant total \(I\) qui traverse le fil est le flux du vecteur densité de courant \(\vec{j}\) à travers la section \(A\) du fil. Si l’on suppose que la densité de courant est uniforme sur toute la section et que le vecteur \(\vec{j}\) est parallèle à l’axe du fil (ce qui est une excellente approximation pour un fil droit), l’intégrale de flux se simplifie en un simple produit :
\[ I = \iint_A \vec{j} \cdot d\vec{A} = jA \]
où \(j\) est la magnitude de la densité de courant.

🔊 Prononciation (ça ne mange pas de pain 🙂 )

I est égal à l’intégrale double sur la surface A du produit scalaire du vecteur j par le vecteur surface élémentaire dA, égal à j fois A

On peut donc exprimer la magnitude de la densité de courant en fonction du courant total :
\[ j = I/A \]

 Analogie : Si tu as une piscine et que tu veux savoir combien d’eau passe à travers un filet placé dedans :