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A RETENIR PAR CŒUR ET A SAVOIR UTILISER

Les résistances peuvent être groupées en série (les unes derrière les autres) ou en parallèle (le terme « dérivation » est aussi employé). En appliquant les lois d’Ohm et de Joule ainsi que la loi des nœuds et des mailles, on déduit, pour chacun des montages :

  • la résistance équivalente de l’ensemble (ou résistances totales notées Rt ; Rt se prononce « R indice t » ou plus couramment « R de t »),

  • la répartition de la tension totale (notée Ut) entre les différentes résistances (UR1 est la tension aux bornes de la résistance R1 ; UR1 se prononce « U indice R1 » ou plus couramment « U de R1 »),

  • la répartition de l’intensité totale parcourue dans le circuit (notée It) entre chacune des résistances (IR1 est l’intensité parcourue dans R1),

  • la répartition de la puissance dissipée totale (notée Pt) entre chacune des résistances du groupement (PR1 est la puissance dégagée par R1) ;

 

La connaissance de toutes les fonctions d’une calculatrice est indispensable pour effectuer les opérations le plus simplement possible et sans risque d’erreurs.

 

Dans un groupement série, la résistance équivalente du groupement de résistances est toujours supérieure à la valeur de la plus grande résistance du groupement. De plus, la tension aux bornes de la résistance la plus grande est la plus importante, de même que la puissance dissipée par cette même résistance (répartition de la tension et de la puissance de l’ensemble au prorata de la valeur des résistances) tandis que l’intensité est constante.

Quand le groupement en série est constitué de n résistances de valeur identique R, la résistance équivalente est : Rt = R x n. Dans ce cas, les tensions aux bornes de chacune des résistances et leurs puissances dissipées sont identiques (UR = Ut / n et PR = Pt / n).

Un groupement en dérivation se nomme aussi groupement en parallèle. Dans un tel montage, la résistance équivalente du groupement de résistance est toujours inférieure à la plus petite des résistances constituant le groupement.

La plus faible résistance du groupement voit passer la plus forte intensité et dissipe le plus de puissance (répartition de la tension et de la puissance dissipée de l’ensemble au prorata inverse de la valeur des résistances) tandis que la tension est constante.

À RETENIR : pour le groupement en parallèle, la résistance équivalente est définie par  Req = (1/R1 + … 1/Rn)-¹. C’est donc l’inverse de la somme des inverses.

Lorsqu’on divise 1 par un nombre on obtient son « inverse ». En pratique on additionne le contenu de la parenthèse puis on pose 1 que l’on divise par le résultat de notre addition et on obtient la résistance équivalente.

Dans un groupement de résistances en parallèle, on a It = IR1 + IR2 + … En remplaçant I par U / R (loi d’ohm), on obtient : U/Rt = U/R1 + U/R2 + … . U étant en facteur commun (la tension est constante), on peut le remplacer par 1, d’où : 1/Rt = 1/R1 + 1/R2 + …

On reconnaît la formule de base. Avec deux résistances et après la transformation du deuxième membre de l’équation par la mise sous un dénominateur commun, on a : 1/Rt = [R2 / (R1 x R2)] + [R1 / (R1 x R2)], d’où : 1/Rt = (R1 + R2) / (R1 x R2), d’où, après inversion, la formule simplifiée pour deux résistances : Rt = (R1 x R2) / (R1 + R2).

Autre raisonnement : la conductance étant l’inverse de la résistance, la formule « 1/Rt = 1/R1 + 1/R2 + … » revient à dire que la conductance équivalente est égale à la somme des conductances en parallèle.

Quand le groupement en dérivation est constitué de n résistances de valeur identique R, la résistance équivalente est : Rt = R / n.

Dans ce cas, les intensités parcourues et les puissances dissipées dans chacune des résistances sont identiques (IR = It / n et PR = Pt / n).

Exemples

Groupement Série

Groupement Parallèle

1) Calcul de la résistance équivalente du groupement

Rt = R1 + R2 = 80 + 20 = 100 Ω
Rt =Produit/Somme=(80×20)/(80+20)=1600/100=16 Ω
ou Rt = 1/(1/80 + 1/20) =16 Ω

2) Calcul de la tension aux bornes de la résistance R1

UR1= Ut x (R1 / Rt) = 10 x (80/100) = 8 V
UR1 = Ut = 10 V

3) Calcul de la tension aux bornes de la résistance R2

UR2 = Ut x (R2 / Rt) = 10 x (20/100) = 2 V
ou par différence : UR1 + UR2 = Ut
d’où : UR2 = Ut – UR1 = 10 – 8 = 2 V
UR2 = Ut = 10 V

4) Calcul de l’intensité parcourue dans le groupement

It = Ut / Rt = 10 / 100 = 0,1 A = 100 mA
It = Ut / Rt = 10 / 16 = 0,625 A = 625 mA

5) Calcul de l’intensité parcourue dans R1

IR1 = It = 100 mA
IR1 = Ut / R1 = 10 / 80 = 0,125 A = 125 mA
ou, si Ut est inconnue : IR1 = It x (Rt / R1)
= 0,625 x (16 / 80) = 0,125 A=125 mA

6) Calcul de l’intensité parcourue dans R2

IR2 = It = 100 mA
IR2 = Ut / R2 = 10 / 20 = 0,5 A = 500 mA
ou, si Ut est inconnue : IR2 = It x (Rt / R2) =
0,625 x (16 / 20) = 0,5 A = 500 mA
ou par différence : IR2 = It – IR1 = 625 – 125 = 500 mA

7) Calcul de la puissance dissipée par le groupement

Pt = Ut x It = 10 x 0,1 = 1 W
ou Pt = Rt x It² = 100 x 0,1² = 100 x 0,01 = 1 W
ou Pt=Ut² / Rt = 10² / 100 = 100 / 100 = 1 W
Pt = Ut x It = 10 x 0,625 = 6,25 W
ou Pt = Rt x It² = 16 x 0,625² = 16 x 0,390625=6,25 W
ou Pt = Ut² / Rt = 100 / 16 = 6,25 W

8) Calcul de la puissance dissipée par la résistance R1

PR1 = Pt x (R1 / Rt) = 1 x (80 / 100) = 0,8 W
ou PR1 = UR1 x IR1 = 8 x 0,1 = 0,8 W
PR1 = Pt x (Rt / R1) = 6,25 x (16 / 80) = 1,25 W
ou PR1 = UR1 x IR1 = 10 x 0,125 = 1,25 W

9) Calcul de la puissance dissipée par la résistance R2

PR2 = Pt x (R2 / Rt) = 1 x (20 / 100) = 0,2 W
ou PR2 = UR2 x IR2 = 2 x 0,1 = 0,2 W
ou PR2 = UR2² / R2 = 2² / 20 = 4 / 20= 0,2 W
ou par différence : PR2 = Pt-PR1 = 1-0,8=0,2 W
PR2 = Pt x (Rt / R2) = 6,25 x (16 / 20) = 5 W
ou PR2 = UR2 x IR2 = 10 x 0,5 = 5 W
ou PR2 = UR2² / R2 = 10² x 20 = 100 / 20 = 5 W
ou par différence : PR2 = Pt-PR1 = 6,25 – 1,25 = 5 W

 NOTA : Notez sur votre feuille de brouillon les résultats intermédiaires. Au besoin, redessinez le schéma pour le rendre plus compréhensible.

Quand les lois d’Ohm et de Joule sont maîtrisées, peu de calculs sont nécessaires. Par exemple : calcul de UR1 dans le groupement série : R1 est 4 fois plus importante que R2 ; la répartition de la tension totale (10 V) sera donc 4/5 sur R1 et 1/5 sur R2, donc UR1 = 10 x 4 / 5 = 8 volts (le calcul de Rt n’est plus indispensable).

Pour calculer la résistance équivalente d’un réseau complexe (enchevêtrement de résistances montées en série et en parallèle), la résistance équivalente de l’ensemble le plus élémentaire sera d’abord calculée. Puis la résistance équivalente de cet ensemble et d’une autre résistance du réseau sera calculée en associant les résistances dans des ensembles de plus en plus complexes.

 

A RETENIR PAR CŒUR ET A SAVOIR UTILISER
Je vous conseille de prendre l’habitude d’utiliser dans tout les cas où il y a un mélange de résistances montés en parallèle et en série cette formule :

Req = (1/R1 + … 1/Rn)-¹ + Rs  (somme résistances en série)

On calcule d’abord la résistance équivalente des résistances en parallèles  Req = (1/R1 + 1/R2)-¹ puis on ajoute Rs  + Rs. S’il y a plusieurs résistances en série il suffit d’en faire la somme (Rs)

 

Exemple

Quelle est la résistance équivalente de cet ensemble ?

Réponse

les 5 résistances de gauche sont montées en dérivation (parallèle) et les 2 résistances de droite sont montées en série.

 (1/R1 + … 1/Rn)-¹ + Rs(en série) = (1/10 + 1/10 + 1/10 + 1/10 +1/10) = 2 + 10 + 10 = 22
Réq= 22 Ω

NOTA : Ne pas oublier après avoir fait la somme des inverses (1/R+ 1/R…) de diviser 1 par la somme trouvée c’est le après la parenthèse ensuite ajouter la somme des résistances en série pour obtenir résistance équivalente de cet ensemble.

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