Calcul d’impédance bobines, condensateurs non parfaits

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Regarder la vidéo très instructive sur le sujet par les créateurs de ce cours. Attention 1H47…

Les bobines et les condensateurs ne sont jamais parfaits

Ils ont toujours une partie résistive que nous appelons résistance pure. Dans les schémas ci-dessous, la résistance pure est représentée en pointillé.

Rappelons que, du fait de l’effet de peau, le courant ne se déplace qu’en surface des fils, ce qui rend le fil moins conducteur qu’à la simple lecture d’un ohm-mètre et ceci d’autant moins que la fréquence du courant est élevée.

 

 

 

La réactance (rapport U / I) de la bobine ou du condensateur ne peut pas s’additionner avec la résistance du fil à cause du déphasage de l’intensité par rapport à la tension aux bornes de la bobine ou de condensateur. La partie résistive (résistance pure du fil) ne s’ajoute pas arithmétiquement à la réactance (déphasage de ± 90°) comme dans le cas des résistances en série, mais géométriquement (somme vectorielle).

L’impédance équivalente (Z) d’un groupement en série d’une résistance et d’une bobine ou d’un condensateur se calcule en utilisant le théorème de Pythagore. R est le vecteur de la résistance ; XL et XC sont les vecteurs de la réactance de la bobine et du condensateur et sont perpendiculaires au vecteur R. La longueur des vecteurs est proportionnelle à leurs valeurs en Ω. Pour un composant idéal, sans résistance, le vecteur Z est vertical et ZL = XL ou ZC = XC. Si la bobine ou le condensateur ne sont pas parfaits, la formule est :

Z = √(R² + X²)

De plus, un condensateur a toujours une composante réactive (bobine) à cause de la forme de ses armatures (formant un coude, par exemple). Une bobine a une composante capacitive liée à l’espacement entre ses spires. Les trois vecteurs (R, L et C) sont représentés ci-dessous : en partant de 0 et en gardant la même échelle de longueur en Ω, le vecteur de réactance de la bobine (L) va vers le haut (+90°), celui du condensateur (C) vers le bas (-90°), le vecteur de la résistance (R) va vers la droite (0°, pas de déphasage). La direction du vecteur OZ donnera le déphasage (en ° ou en fraction de π) à analyser comme dans le cercle trigonométrique.

En mettant les vecteurs R, L et C bout à bout, la résultante (somme vectorielle) donne la valeur de l’impédance et l’angle de déphasage de la tension par rapport à l’intensité. L’impédance (Z) est formée d’une résistance (R) et d’une réactance positive (+XL) ou négative (–XC) qui lui est perpendiculaire. La valeur de l’impédance s’écrira sous la forme R ±jX. Le symbole j et son signe indiquant le sens du déphasage signifie qu’on ne peut pas additionner (ou soustraire) R et X bien que tous deux se mesurent en Ω.

Le rapport réactance/résistance détermine la tangente de l’angle de déphasage. Si l’angle de déphasage est positif, la réactance sera positive et la tension sera en avance par rapport à l’intensité. Dans le cas contraire, la réactance sera négative et la tension sera en retard par rapport à l’intensité.

Arcsinus (noté arcsin ou sin-–1) est la fonction inverse du Sinus Z() =(R² + [XL – XC]²) = R jX

Exemple

sin (45°) = 0,707 et sin–1 (0,707) = 45° = déphasage de U par rapport à I

Sur certaines calculettes, les angles doivent être exprimés en radians = arctg (X / R) (et non pas en °) c’est-à-dire en longueur sur le cercle trigonométrique = arctg ((XL –XC ) / R) dont la demi-circonférence (soit 180°) mesure π . = arcsin (X / Z)

Exemple

 45° = (45 / 180)  x  π = π / 4 = 0,7854 radian = arcsin [(XL –XC )/(R² + (XL – XC)²)]

1,05 rad = 1,05 x 180 / π = 60° ; 360° = 2 π = 6,28 radians = arccos (R / Z)

sin(45°) = sin(0,7854 rad) = 0,707 et sin–1(0,707) = 0,7854 rad = 45° = arccos [R/(R² + (XL – XC)²)]

Autres exemples

Une bobine de 6 µH est parcourue par un courant dont la fréquence est égal à 1,06 MHz. La résistance pure de la bobine est de 69 Ω;

Quelle est l’impédance de la bobine  et quel déphasage génère cette bobine non parfaite ?

Réponses

La réactance de la bobine :
XL = ZL = 2πFL
= 6,28 x 1,06.106 x 6.10-6 = 6,28 x 6,36 = 40 Ω

ZL =√(R² + XL²) =√(69² + 40²) ≈ 80 Ω

Le déphasage :

arctg (X / R) = tg–1 (40 / 69) = tg–1 (0,5797) = +30°

 

Le déphasage de tension introduit par les bobines et les condensateurs est compris entre +90° et –90°. La représentation d’un signal déphasé est illustrée par le schéma ci-dessus : à gauche, le signal en pointillé (bleu) est en avance de 30° par rapport au signal de référence (en rouge) et correspond au déphasage de la tension par rapport à l’intensité de la bobine de l’exemple ci-dessus. L’impédance du signal s’écrit 69 Ω + j40 Ω. A droite, le signal en pointillé (vert) est en retard de 90° et correspond au déphasage de tension par rapport à l’intensité (par convention, représentant le signal de référence) introduit par un condensateur parfait.

Le calcul de l’impédance (Z) permet d’appliquer la loi d’Ohm (U = Z.I). Mais, pour appliquer la loi de Joule (P = U.I), il faut tenir compte du déphasage tension/intensité, ce qui amène à la formule :

P = U.I.cosφ

Dans le cas d’une bobine ou d’un condensateur parfait, aucune puissance n’est consommée puisque cos(90°) = 0.

Exemples

à partir des données de l’exemple ci-dessus, en supposant U = 40 V aux bornes de la bobine, calculer l’intensité parcourue dans la bobine et la puissance dissipée (par la résistance pure de la bobine).

Réponses

I = U / Z = 40 / 80 = 0,5 A ; P = U.I.cos φ = 40 x 0,5 x cos(30°) = 20 x 0,866 = 17,32 W

Le rapport entre l’impédance de la bobine (ou du condensateur) et sa résistance pure détermine le déphasage mais aussi le coefficient de qualité appelé facteur Q

Q = Z / R ou Q = 1 / cos φ

Q exprime le rapport entre l’énergie totale emmagasinée dans le composant et l’énergie qui sera dissipée en chaleur.

Si R est petit par rapport à Z, le déphasage est faible et Q = 2πFL/R = 1/(2πFCR). Q dépend donc de la fréquence mais aussi de la résistance pure : plus R est petit, plus le coefficient de qualité Q est important et meilleur est le composant.

Exemple

à partir des données de l’exemple ci-dessus, calculer le facteur Q de l’ensemble.

Réponse

Q = Z / R = 80 / 69 = 1,16 ou encore Q = 1 / cos φ = 1 / cos (30°) = 1 / 0,866 = 1,16

Les résistances, du fait de leur mode de fabrication ont des composantes inductives (spirale creusée dans le matériau pour ajuster la valeur) et capacitives (embouts où sont soudées les pattes). Les résistances de faible valeur (jusqu’à 100 Ω) ont un comportement plutôt inductif et les résistances supérieures à 300 Ω sont plutôt capacitives. Vers 150-200 Ω, les deux effets s’annulent jusqu’à quelques GHz. Ces résistances, montées en série ou en dérivation pour obtenir la valeur désirée, sont utilisables en très haute fréquence.

Tout ceci peut paraitre compliqué mais retenez simplement les formules principales pour calculer puissance, réactance et l’impédance.

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