A RETENIR PAR CŒUR

Il serait judicieux de visionner ces vidéos avant de commencer cette leçon. Cela vous donnera une idée des concepts utilisés dans le cours. Ces notions sont importantes à connaitre car il peut y avoir des questions sur le sujet lors de l’examen. Cette leçon est assez longue et plutôt complexe. Faire des fiches, revenir sur les points difficiles, faire et refaire des exercices et surtout prendre son temps. On est pas pressé 🙂

 

Bobine et condensateur en régime alternatif

Rappel de la loi de Lenz

Rappel de la loi de Faraday

 

Le condensateur et la bobine possèdent leurs propres caractéristiques et ont des comportements opposés mais complémentaires aussi bien en présence de courants alternatifs que de courants continus. Ces caractéristiques sont récapitulées dans le tableau suivant :

 

Récapitulatif à connaitre

Dans les formules simplifiées, le facteur 159 est fréquemment utilisé au numérateur des fractions. Ce nombre correspond à une approximation de 1000 / 2π, soit 1000 / 6,2832. Les formules ainsi simplifiées donnent un résultat approximatif mais suffisant pour répondre aux questions de l’examen lorsque les candidats sont mal à l’aise avec les calculatrices et les calculs avec puissances de 10 (sous évaluation du résultat de 0,1%). Dans les questions de l’examen portant sur des calculs faisant intervenir le nombre π (impédance, fréquence, …), les résultats sont toujours arrondis : ne cherchez pas dans les réponses le chiffre exact que donne votre calculette. Dans les formules simplifiées, faire très attention aux multiples et sous-multiples utilisés.

 

A l’examen, lorsque intervient 2π dans une formule, il est parfois indiqué de retenir 1 / 2π = 0,16 (ou 2π = 6,28) ; ce qui revient à arrondir le résultat ou à utiliser le facteur 160 (au lieu de 159) dans les formules simplifiées.

 

Le condensateur (noté C dans les schémas) est constitué de deux plaques métalliques (appelées aussi armatures) en vis-à-vis et isolées par un diélectrique (isolant). Le condensateur fonctionne grâce à l’effet électrostatique entre ses deux plaques (ou lames). C’est l’effet observé en frottant une barre en plexiglas avec un chiffon, ce qui attire de petits morceaux de papier. C’est aussi la décharge électrique ressentie en touchant une masse métallique après que l’on se soit frotté les pieds sur la moquette. Les électrons présents dans une des lames du condensateur constituent la réserve d’électricité et chassent les électrons qui sont en face, dans l’autre lame.

L’unité de mesure du condensateur est le farad (noté F). Cette unité a une très forte valeur si bien que l’on utilise pour mesurer les condensateurs des sous multiples :

  • picofarad (10-12) (pF)
  • nanofarad (10-9) (nF)
  • microfarad (10-6) (μF)
  • ou pour les très grosses valeurs, millifarad (10-3) (mF)

La valeur du condensateur se nomme aussi la capacité.

La formule de base du calcul d’un condensateur à partir de ses dimensions est :

C(F) = ε . S(m²) / E(m)

avec ε (lettre grecque epsilon minuscule) = permittivité du diélectrique, S = surface des lames en vis à vis et E = épaisseur du diélectrique (isolant séparant les lames). Plus la surface des lames en vis-à-vis est grande et plus l’épaisseur du diélectrique est faible, plus grande sera la valeur du condensateur.

La permittivité (ε) du diélectrique dépend du matériau employé. Le diélectrique de référence est le vide dont la permittivité, εo, est 1/(36 π.109)F/m, soit 8,8419 pF/m. La permittivité relative, εr (ou coefficient diélectrique ou encore constante diélectrique) d’autres matériaux est définie par rapport à celle du vide

  • εr du vide = 1 et est toujours supérieure à 1
  • 1,0014 pour l’air sec
  • 2,1 pour le téflon
  • 2,3 pour le Polyéthylène (PE)
  • 3 à 4 pour le papier
  • 3,7 pour la bakélite
  • 4,5 pour la fibre de verre
  • 5 à 6 pour le mica
  • 10 pour le verre
  • 10 et plus pour les céramiques.

Ainsi, la permittivité du polyéthylène est : ε0r = 1/(36π.109) x 2,3 = 2.10-11 = 20 pF/m

Le pouvoir d’isolement du diélectrique se nomme la rigidité : au delà d’une tension déterminée par l’épaisseur et la rigidité du diélectrique, celui-ci sera percé (claquage). Rigidité de quelques matériaux (en kV/mm) : 4 pour l’air sec, 6 pour le papier, 10 pour le carton, le verre et la bakélite, 17 pour le téflon et le PE, 70 pour le mica.

Le code des couleurs des condensateurs est identique à celui des résistances. Les couleurs se lisent du haut vers le bas (les pattes) et sont souvent au nombre de 5 : 1er chiffre, 2ème chiffre, Multiplicateur (comme pour les résistances). L’unité de base est le picofarad. Les deux dernières couleurs indiquent la tolérance (blanc : 10%, noir : 20%) et la tension à ne pas dépasser (rouge : 250 V, jaune : 400 V). Selon les fabricants, il existe d’autres présentations. Enfin, la valeur des très anciens condensateurs peut être indiquée en cm avec 1 cm ≈ 1,1 pF.

Certains condensateurs sont variables : les lames fixes sont montées dans une cage isolée des lames mobiles qui tournent sur un axe. La valeur du condensateur est fonction de la surface des lames en vis-à-vis, leur espacement étant fixe. D’autres condensateurs, dont le diélectrique est chimique, sont polarisés : si la tension à leurs bornes est inversée ou supérieure à leur tension d’utilisation, ils chauffent et peuvent même exploser.

Un condensateur d’un farad peut, par définition, contenir dans ses armatures une réserve d’électricité égale à un coulomb en présence d’une tension de un volt à ses bornes : Q(C) = C(F) . U(V). Plus la tension aux bornes du condensateur est élevée, plus la quantité d’électricité emmagasinée dans le condensateur est importante. De plus, la quantité d’énergie emmagasinée dans un condensateur est : E(J) = ½.Q(C) . U(V). En remplaçant Q ou U par sa valeur tirée de Q = C . U, on a : E(J) = ½ . C(F) . U²(V) et encore : E(J) = Q²(C) / 2.C(F).

La bobine (notée L en hommage au physicien allemand Heinrich Lenz) fonctionne grâce à ses propriétés électromagnétiques. Le courant qui parcourt la bobine génère un champ magnétique autour et à l’intérieur des spires. Ce champ magnétique constitue la réserve d’énergie de la bobine (loi de Laplace). La valeur d’une bobine, appelé inductance, dépend de la forme de la bobine, de sa section (donc du carré de son diamètre) et du carré du nombre de ses spires.

Une bobine se mesure en Henry (noté H) avec les sous multiples

  • millihenry (10-3 ), (mH), filtres BF
  • microhenry (10-6 ), (μH), le plus courant
  • nanohenry (10-9 ), (nH), utilisé pour de très faibles valeurs

Attention : éviter d’utiliser le terme « self » pour désigner un enroulement électrique. Utiliser le mot bobine (ou bobinage). Le terme « self » est un anglicisme mal utilisé : il y a confusion entre un phénomène physique (self-induction) et l’élément matériel qui le produit (bobine). De même, préférer l’adjectif « réactif » à « selfique ».

Les grandeurs électromagnétiques sont :

H (à ne pas confondre avec le H de l’unité des bobines, le Henry) est l’excitation magnétique (courant électrique générant un champ magnétique autour d’un fil rectiligne ou au centre d’une bobine) mesurée en ampères-mètres (A.m) pour les fils rectilignes et en ampères-tours (A.t) pour les bobines,

µ (lettre grecque mu minuscule) est la perméabilité (en H/m). C’est l’aptitude d’un matériau (ou d’un milieu) à guider les champs magnétiques. La perméabilité du vide, notée

µo, = 4π.10-7H/m, soit 1,2566 µH/m

B est l’induction magnétique du champ mesurée en Tesla (1 Tesla = 10000 Gauss). B est le champ magnétique issu de l’excitation H agissant sur une surface plane et perpendiculaire à ses lignes de force : B = H . µ

Le flux Φ (lettre grecque phi majuscule) est le flux d’induction magnétique (en weber, Wb) qui, traversant une bobine, y produit une force électromotrice U si on annule le flux progressivement sur une période t : Φ = U . t

Par définition, le Henry est l’inductance d’une bobine constituée d’une seule spire, parcourue par un courant de 1 ampère et générant un flux Φ (Phi) de 1 weber qui, lui-même, peut libérer une énergie égale à 1 joule. Ce qui donne la formule de base : L(H) = Φ (Wb) / I(A). La quantité d’énergie emmagasinée dans une bobine est donné par la formule :

E(J) = ½ L(H) . I²(A)

Si la capacité des condensateurs est assez facile à déterminer grâce à ses dimensions, il n’existe aucune formule fiable pour le calcul de l’inductance des bobines. En théorie, on a

L = µo.D².N²/longueur

(avec L = valeur de la bobine en Henry, µo = perméabilité du vide (ou constante magnétique = 1,2566 µH/m), D = diamètre de la bobine en mètres, N = nombre de spires et longueur de la bobine en mètres). Mais, selon la forme de la bobine, le flux d’induction magnétique (Φ) est plus ou moins dispersé car une partie de celui-ci n’est pas guidé (les spires n’embrassent pas tout le champ magnétique car elles ne sont pas jointives ou parce que la bobine est trop longue) et une partie de sa force électromagnétique est perdue.

Pour calculer l’inductance d’une bobine, on a alors recours à des formules empiriques comme celle citée dans le tableau comparatif. Celle-ci ne fonctionne qu’avec une bobine comportant une seule couche de spires jointives et dont le rapport diamètre/longueur est compris entre 0,5 et 1. D’autres formules existent : elles utilisent toutes un coefficient issu du rapport diamètre/longueur de la bobine. Un fil rectiligne aura aussi une inductance, très faible par rapport à une bobine (≈ 1 µH/m pour un fil rectiligne en cuivre), mais cette faible valeur sera intéressante pour des applications en UHF et au-delà.

L’inductance de la bobine augmente significativement en introduisant un noyau magnétique à l’intérieur des spires (ou en enroulant les spires autour d’un tore), ce qui guide le champ magnétique et augmente artificiellement la section de la bobine. Le noyau peut être constitué de différents matériaux (feuille de tôle, ferrite, poudre ferromagnétique) ayant chacun leur perméabilité relative notée µr et calculée par rapport à la perméabilité du vide, µo. L’air sec a une perméabilité très proche de celle du vide (µr de l’air sec = 1,000 0004).

Les matériaux magnétiques sont le fer, le nickel, le cobalt, le silicium et leurs alliages. Lorsque leur µr est proche de 1, les conducteurs sont paramagnétiques s’ils s’aimantent dans le sens du champ magnétisant (aluminium, manganèse, platine) ou diamagnétiques s’ils s’aimantent en sens inverse (cuivre, zinc, argent, bismuth).

Les ferrites sont des mélanges à base d’oxydes de fer. Leur µr varie de 20 à 3000 selon le matériau employé et leur forme. Elles sont utilisables sur une plage de fréquence et pour un champ magnétique donnés, ce qui limite la puissance utile dans la bobine quand les dimensions du noyau sont trop petites (saturation). Le coefficient AL des ferrites, lié au µr du matériau et à la forme de la bobine, exprime le rapport entre la valeur réelle de la bobine avec son noyau (ou son tore) divisé par la valeur de cette même bobine dont le noyau a été retiré.

Les équations de Maxwell mettent en relation la permittivité et la perméabilité du vide par l’égalité suivante :

µo . εo . c2 = 1

(avec c = vitesse de la lumière, soit 3.108 m/s)

Lorsqu’ils sont traversés par des courants alternatifs, les bobines et les condensateurs réagissent différemment :

 

Un condensateur ne laissera passer que la composante alternative d’une tension tandis que la bobine s’opposera à toute variation de l’intensité.

 

Ceci se mesure en ohms mais on ne peut plus parler de résistance puisque cela dépend de la fréquence. Le terme d’impédance (noté Z) est employé et plus précisément de réactance pour la bobine et de capacitance pour le condensateur. De plus, aucune énergie n’est consommée : les bobines et les condensateurs emmagasinent l’énergie puis la restituent à l’identique. Étymologiquement, Impédance provient du langage militaire où les « impédiments » désignaient les bagages qui ralentissaient la marche d’une armée !

 

L’impédance de la bobine et du condensateur varie en fonction de la fréquence du courant qui les traverse.

 

Dans une bobine, plus la fréquence augmente et plus la valeur de la bobine est grande, plus l’impédance est élevée. L’impédance de la bobine est nulle lorsque le courant qui la traverse est continu (fréquence nulle). L’impédance de la bobine est égale à son inductance multipliée par la pulsation :

ZL(Ω) =ωL(H)

D’où vient cette formule ? On sait que : L = Φ/ I et Φ= U.t, donc U / I = L / t.

En régime sinusoïdal, la partie active de la tension ou de l’intensité (t) a une durée de 1/(2πF).

Donc U/I = ZL = 2πFL

 

Dans un condensateur, plus la fréquence augmente et plus la capacité du condensateur est grande, plus l’impédance est faible.

 

L’impédance du condensateur est infinie lorsqu’on lui applique un courant continu (aucun courant ne traverse le condensateur). L’impédance d’un condensateur est égale à l’inverse du produit de la pulsation multipliée par sa capacité : ZC(Ω) = 1/[ωC(F)]. En présence d’un courant continu superposé à un courant alternatif, on a l’impression que seule la composante alternative traverse le condensateur. Mais ce n’est qu’une illusion : les électrons qui entrent dans le condensateur ne sont pas les mêmes que ceux qui sortent de l’autre côté car le diélectrique les sépare. D’où vient la formule du condensateur ? On sait que : C = Q / U et Q = I.t, donc U / I = t / C. On vient de voir que t = 1/(2πF). Donc

U/I = ZC = 1/(2πFC)

 

Les condensateurs et les bobines peuvent être montés en groupement série ou parallèle. Le montage des bobines en parallèle est peu utilisé.

 

L’inductance équivalente des bobines en série

L’inductance équivalente des bobines en série est égale à la somme des inductances (comme pour les résistances) si les bobines ne sont pas couplées. Si les bobines sont couplées, il faut ajouter ou soustraire la mutuelle-induction, elle-même fonction du coefficient de couplage des bobines (coefficient k compris entre –1 et +1 : si k = 1, les bobines sont parfaitement couplées ; si k = 0, elles ne sont pas couplées ; si k < 0, rendant la mutuelle-induction négative, le sens des spires des bobines est inversé). Pour éviter le couplage des bobines, on pourra soit les éloigner suffisamment entre elles, soit isoler leur champ magnétique à l’aide d’un blindage ou simplement les disposer perpendiculairement entre elles, ce qui sous-entend qu’on ne peut disposer ainsi plus de trois bobines (une bobine dans chacun des trois axes).

Pour calculer la capacité équivalente des condensateurs

Pour calculer la capacité équivalente des condensateurs, les formules de calcul sont inversées par rapport à celles utilisés pour les résistances : on additionne les valeurs lorsque les condensateurs sont en parallèle et, lorsque les condensateurs sont en série, on calcule l’inverse de la somme des inverses (ou le produit des valeurs divisé par leur somme s’il n’y a que 2 condensateurs).

 

La tension aux bornes d’un groupement de condensateurs montés en série est égale à la somme des tensions aux bornes de chacun des condensateurs (loi des mailles)

 

On a : Ut = UC1 + UC2 + … . De plus, par définition, Q = C . U, on en déduit que U = Q / C.

Remplaçons U par sa valeur : Qt / Ct = QC1 / C1 + QC2 / C2 + …

Du fait de la loi des mailles, la quantité d’électricité (Q) emmagasinée dans chacun des condensateurs (QC1, QC2, etc.) est égale à la quantité d’électricité emmagasinée dans l’ensemble (Qt).

La valeur Q, commune aux deux membres de l’équation, peut être remplacée par 1 : 1 / Ct = 1 / C1 + 1 / C2 + …

On retrouve la formule des résistances en parallèle que l’on simplifie pour deux condensateurs par : Ct = (C1 . C2) / (C1 + C2).

 

La répartition de la tension entre des condensateurs montés en série se fait au prorata inverse de la valeur des capacités : le plus petit condensateur aura la tension la plus élevée à ses bornes.

 

Le groupement des condensateurs en parallèle se conçoit plus facilement : les surfaces en vis à vis s’additionnent et donc la capacité équivalente est la somme des valeurs de chacun des condensateurs du groupement.

Lorsqu’un courant sinusoïdal traverse une résistance, tension et intensité sont en phase. Par contre, lorsqu’un courant sinusoïdal traverse un condensateur ou une bobine, des déphasages entre tension et intensité se produisent. h1 Le déphasage introduit par le condensateur entre la tension à ses bornes et l’intensité le traversant s’explique ainsi : lorsque le condensateur est « rempli », la tension à ses bornes est maximum et aucune intensité n’est constatée puisqu’il est plein. Dès que le condensateur se vide, un courant sort du condensateur (intensité négative) tandis que la tension (positive) diminue.

Lorsque le condensateur est vide (tension nulle), l’intensité (négative) est à son maximum. Puis la tension à ses bornes s’inverse tandis que le courant (négatif) diminue jusqu’à devenir nul lorsque le condensateur est rempli. A ce moment, la tension est maximum et inversée par rapport au début. Puis le cycle continue en sens inverse lorsque le condensateur se vide à nouveau. Il y a d’abord établissement de l’intensité puis établissement de la tension car l’intensité remplit le condensateur. La tension est en retard de 90° par rapport à l’intensité (ou l’intensité est en avance de 90° sur la tension mais le déphasage est par convention constaté par rapport à l’intensité,

Le déphasage introduit par la bobine s’explique ainsi : lorsqu’un courant continu parcourt la bobine, elle crée un champ magnétique dans ses spires. En l’absence de variation du courant, aucune tension n’apparaît aux bornes de la bobine. Si le courant parcourant la bobine diminue, le champ de la bobine restitue l’énergie emmagasinée lors de la création du champ en générant une tension inverse comme si la bobine était un générateur. La tension (négative) sera maximum lorsque le courant sera nul car, en régime sinusoïdal, c’est à ce moment que la variation du courant est la plus importante.

Lorsque le courant s’inverse, le champ magnétique s’inverse et la tension négative diminue. Lorsque l’intensité atteint son maximum en sens inverse, la tension est nulle et le champ magnétique a été inversé. Puis le cycle continue lorsque le courant traversant la bobine diminue de nouveau. Une tension est préalablement nécessaire pour générer un courant dans la bobine puis, une fois la réserve d’énergie créée sous la forme d’un champ magnétique, le courant s’établit. La tension est en avance de 90° par rapport à l’intensité.

 

INFO : Le symbole signifie : “implique que”, signifie “presque égal à ou approximativement égal à”

Exemples

Un condensateur variable a une capacité de 100 pF. Quelle sera sa valeur si la surface des lames en vis à vis est diminuée de moitié ?

Réponse

Avec C = d . S / E, si S / 2 alors C / 2 donc C = 100 / 2 = 50 pF

L’inductance d’une bobine cylindrique a une valeur de 5 µH. Cette bobine possède 40 spires. Quelle sera la valeur de l’inductance avec seulement 10 spires (en nH) ?

Réponse

L = F . N² . D² ; si N / 4 ⇒ L / 4² L / 16 L = 5µH / 16 = 0,3125 µH = 312,5 nH ; en fait, comme la forme de la bobine change car elle est plus courte ou, si on l’étire pour garder la même longueur, l’espace entre les spires est plus grand, son inductance n’est pas exactement proportionnelle au carré des spires.

Quelle est l’impédance de la bobine ?

Réponse

Z = ωL = 2πFL=6,28 x 8.106 x 12,5.10-6 = 6,28 x 8 x 12,5 = 628 Ω

Quelle est la valeur du condensateur (en µF) et la quantité d’énergie (en mJ) emmagasinée dans le condensateur ?

Réponses

  • C(F) = Q(C) / U(V) = 0,0008 / 20 = 0,00004 F = 40 µF
  • E(J) = ½ x Q(C) x U(V) = ½ x 0,0008 x 20 = 0,008 J = 8 mJ

 Calculer la valeur de Ieff (courant efficace)

Réponse

On cherche d’abord Z

Z=1/(2πFC) = 1/(6,28 x 15.103 x 10.10-6) = 103/(6,28x15x10) = 1000/(6,28×150) ≈ 1 Ω

 puis on calcule Ieff à l’aide de I = U / Z  (Loi d’ohm)

14 Vmax x 0,707 ≈ 10 Veff ; I = U / Z = 10V / 1Ω = 10 Aeff (valeur exacte = 9,33)

Calculer la capacité équivalente de cet ensemble (en pF)

Réponse

0,4 nF = 400 pF (Maitriser les conversions d’unités est impératif)

Ct = C1 + C2 = 100pF + 400pF = 500 pF

 

Essayez d’être à l’aise sur le sujet car il est possible qu’il apparaisse dans les questions de l’examen. Faites des exercices.

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