Autres exercices sur les RLC

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Quelques questions d’examen nécessitant la maîtrise de formules citées ci-dessous ont été recensées (en particulier R à calculer à partir de L, C et Q)

Les variantes suivantes sont déterminées à partir de la formule de Thomson (à la résonance, XL = XC) :

Calcul de L ou de C pour une fréquence donnée à partir d’une des valeurs L ou C connues :

F = 1/ [2(LC)] donc, en mettant au carré les deux termes : F² = 1/ [4²LC], donc : C = 1 / 4²F²L ou encore :

L = 1 / 4²F²C

ou formules simplifiées :
C(pF) = 25330 / F²(MHz) / L(µH) et L(µH) = 25330 / F²(MHz) / C(pF).

Dans les formules simplifiées ci-dessus, 25330 = 10 000 / 4² 159²

Calcul de la pulsation à la résonance :
F = 1/[2(LC)], alors : 2F = 1/(LC) donc : = 1/(L.C)

Calcul de XL et de XC :
on vient de voir que 2F = 1/ (LC), alors 2FL = L/(LC) donc XL = (L / C)
ou encore : 2FC = C/(LC) donc 1/(2FC) = (LC)/C donc XC = (L / C).

A la résonance, on a bien XL = XC

Sur une calculatrice, à partir des valeurs du circuit bouchon du chapitre RLC

– Calcul de C

avec F = 3,183 MHz et L = 25 µH

En écriture naturelle :
C = 1 / (4
² F² L) = 1 / (4 x []² x [3,183.10-6]² x 25.10-6) = 100.10-12 = 100 pF

Formule simplifiée :
C(pF) = 25330
3,183² (F en MHz) 25 (L en µH) = 25330 / 3,183 / 3,183 / 25 = 100 pF

– Calcul de L

avec F = 3,183 MHz et C = 100 pF :

En écriture naturelle :
L = 1 / (4 ² F² C) = 1 / (4 x []² x [3,183.10-6]² x 100.10-12) = 25.10-6 = 25 µH

Formule simplifiée :
L(µH) = 25330 3,183² (F en MHz) 100 (C en pF) = 25330 / 3,18 / 3,18 / 100 = 25 µH

– Calcul de la pulsation :

En écriture naturelle :
= 1 / [(L x C)] = 1 / [(25.10-6 x 100.10-12)] = 20.106 = 20 000 000 rad/s

Vérification :
= 2F = 2 x x 3,183.106 = 6,28 x 3,183.106 = 19 989 240 rad/s arrondi à 20 000 000 rad/s

– Calcul de XL et de XC :

En écriture naturelle :
X
L = (L / C) = [25.10-6(L) 100.10-12(C)] = 500.100 = 500

Vérifications :
En écriture naturelle :
X
L
= 2FL = 6,28 x 3,183.106 x 25.10-6 = 499,731 arrondi à 500

XC = 1 / (2FC) = 1 / (6,28 x 3,183.106 x 100.10-12) = 500,3.100 arrondi à 500

Formules simplifiées :
XL = L = 6,28 x F(MHz) x L(µH) = 6,28 x 3,183 x 25 = 500

XC = 159 / F(MHz) / C(nF) = 159 / 3,183 / 0,1 = 500

Les variantes suivantes sont déterminées à partir des formules de calcul de Zbouchon et de Qbouchon :

A la résonance, L = 1 / C et Zbouchon = (L / C) / R = (L)² / R donc

Zbouchon = XL² / R ou Zbouchon = XC² / R

Puisque Zbouchon =XL² / R ou Zbouchon = XC² / R et que Q = Zbouchon / XL alors :

Qbouchon = XL / R = XC / R


On retrouve la formule de calcul de Qsérie (dans le chapitre RLC) puisque ces deux circuits ont le même facteur Q. Ces formules montrent que le facteur Q est proportionnel à la fréquence de résonance du circuit. Toutefois, dans les circuits bouchon et série, l’effet de peau mis en évidence par R et qui augmente avec la fréquence atténue les variations du facteur Q en fonction de la fréquence.

La résistance R d’un circuit bouchon ou série n’est pas facilement mesurable mais elle se calcule à partir de la mesure de la bande passante du circuit bouchon ou du facteur Q du circuit série. Pour un circuit série, le facteur Q est le rapport obtenu en divisant la tension mesurée avec un oscilloscope entre L et C à la fréquence de résonance divisée par la tension issue du générateur branché aux bornes du filtre. Pour un circuit bouchon, à l’aide d’un grid-dip, le pic de tension à la fréquence de résonance (Fo) est mesuré puis on note les fréquences inférieures et supérieures pour lesquelles le signal est atténué de 3 dB (soit 0,707 de la tension à Fo). B étant l’écart entre ces deux fréquences, Q est déduit par le calcul : puisque B = Fo / Q, alors Q = Fo / B.

De plus, pour le circuit bouchon et le circuit série, Q = (L / C) / R, d’où :

Rbouchon = Rsérie = (L / C) / Q

Formule simplifiée :
Rbouchon(k) = Rsérie(k) = [L(µH) / C(pF)] / Q

On sait que Q = Zbouchon / XL donc Zbouchon = Q x XL. En remplaçant XL par sa formule, Zbouchon = (L / C) . Q D’autre part, Qparallèle = Zparallèle / XL = Rparallèle / XL donc Rparallèle = XL x Q donc :

Rparallèle = √(L / C) . Q

Formules simplifiées :
Zbouchon(k) = Rparallèle(k) = [L(µH) / C(pF)] . Q

A la lecture de ces dernières formules, on remarque que : Zbouchon = Rparallèle = Rbouchon . Q². Ainsi, dans un circuit bouchon non parfait, la résistance série est transformée en résistance parallèle et vient en dérivation sur la résistance parallèle du circuit, ce qui diminue la résistance parallèle totale et le facteur Q du circuit.

Exemples à partir des valeurs du circuit bouchon du chapitre RLC

 

 

Zbouchon = XL² / R = XC² / R = 500² / 20 = 12500

Qbouchon = XL / R = 2FL / R = [6,28 x 3,183.106 x 25.10-6] / 20 = 500 / 20 = 25

Qbouchon = XC / R = [1 / (2FC)] / R = [1 / (6,28 x 3,183.106 x 100.10-12)] / 20 = 500 / 20 = 25

Rbouchon = (L / C) / Q) = [25.10-6 / 100.10-12] / 25 = (0,25.106) / 25 = 0,5.103 / 25 = 500 / 25 = 20

Formule simplifiée :
R(k) = [L(µH) / C(pF)] / Q = (25 / 100) / 25 = 0,5 / 25 = 0,02 k20

Zbouchon = [L / C] x Q = [25.10-6 / 100.10-12] x 25 = (0,25.106) x 25 = 500 x 25 = 12500

Formule simplifiée :
Z(k) = [L(µH) / C(pF)] x Q = (25 / 100) x 25 = 0,5 x 25 = 12,5 k12500

Vérification :
R
bouchon x Q² = 20 x 25² = 20 x 625 = 12500 = Zbouchon = Rparallèle

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