Cette leçon est longue et assez complexe, retenez simplement les formules appliquées aux différents montages. Si vous ne savez pas ce que sont : un wobulateur, un ondemètre à absorption ou un grid-dip, lisez jusqu’au bout et retenez bien la terminologie. Sinon reportez-vous sur la version papier qui sera peut être plus pratique pour certains.
A RETENIR
Et 4 vidéos pour mieux comprendre le fonctionnement d’un circuit RLC. (uniquement si ça vous intéresse)
RLC 1RLC 2 RLC 3RLC 4
Les circuits RLC sont des circuits LC non parfaits : le circuit est alors constitué d’un condensateur, d’une bobine et d’une résistance fictive R montée soit en série avec la bobine, représentant la résistance du circuit (principalement de la bobine) comme dans le circuit série ou le circuit bouchon, soit en parallèle avec le condensateur représentant son défaut d’isolement. Aussi, dans les formules ci-dessous, la réactance (XL) sera distinguée de l’impédance (ZL), cette dernière incluant R. A cause de cette résistance parasite (représentée en pointillé car ce n’est pas un composant), l’impédance des circuits à la résonance n’est plus nulle ou infinie. Cette résistance a une incidence négligeable sur la pente d’atténuation des filtres passe-haut ou passe-bas.
Exemple
Calcul de la fréquence de résonance :
Fo = 159 / √(LC)
= 159 / √(25 x 100) = 159 / 50 = 3,18 MHz
Sur la calculatrice :
Fo = 1 (2 x [ x [] (25.10-6(L) x 100.10-12 (C))) = 3,183.106 converti en 3,183 MHz
L’effet de peau fait que la résistance du fil de la bobine est plus importante que sa simple mesure à l’ohmmètre : le courant HF ne circule qu’à la périphérie du fil. L’épaisseur de la « peau » (en m) se calcule avec la formule : [(m) /.µo.µr.F(Hz)] avec µr et propre au fil utilisé : dans la première « peau » passe 63% du courant puis, dans la seconde peau de même épaisseur, passe 63% du courant restant et ainsi de suite. Cette progression est similaire à celle de la charge du condensateur.
Impédance du circuit série :
Zsérie = (R² + [L – 1/C]²)
A la fréquence de résonance, par définition, on a XL = XC donc L = 1 / C, donc L – (1 / C) = 0, donc Zsérie = Rsérie à la résonance !
Impédance du filtre bouchon :
1/Z = 1/[((L)²+R²)]+1/[1/(-C)]
avec la formule des résistances en parallèle ou, avec la formule simplifiée des groupements : Produit des impédances / Somme des impédances, d’où :
R étant petit par rapport à L, on a : ((L)² + R²) L et on vient de voir que, à la résonance : (R² + [L – 1/C]²) = R, donc :
Zbouchon = (L/C)/R
donc Zbouchon = L/(R.C) à la résonance
Et avec formule simplifiée : Z(k) = L(H)/R(k)/C(pF)
Impédance du circuit parallèle :
L et C forment une impédance infinie à la fréquence de résonance (le circuit donne l’impression d’être coupé) donc Zparallèle = Rparallèle à la résonance.
Exemples
A partir des schémas en début de page.
On trouve que Zsérie = R = 20 et queZparallèle = R = 12,5 k
Calcul de l’impédance à la résonance du circuit bouchon :
Zbouchon() = L(H) / [R() x C(F)]
= 25.10-6 /(20×100.10-12) = 25.10-6 / 20.10-10 = (25/20).104 = 1,25.104 = 12,5 k
Sur une calculette en écriture naturelle :
Zbouchon = L / (R x C) = 25.10-6 / (20 x 100.10-12) = 1,25.104 = 12,5 k
Formule simplifiée :
Zbouchon = L / R / C = 25 (L en H) 0,02 (R en k) 100 (C en pF) = 12,5 kΩ
Ainsi, la résistance du circuit parallèle (12,5 k) est équivalente à la résistance de 20 du circuit bouchon.
Le facteur Q
(ou coefficient de surtension) Il définit la qualité d’un circuit. Si L et C sont en parallèle (circuit bouchon ou parallèle), Q est le rapport obtenu en divisant l’impédance à la résonance (Z) par la partie réactive de la bobine ou du condensateur (XL ou XC, les deux valeurs étant identiques à la résonance). Si L et C sont en série, le rapport est inversé. Plus Q est faible, plus l’oscillation du circuit s’amortit rapidement car l’énergie disponible est dissipée dans R.
Calcul du facteur Q d’un circuit bouchon :
Qbouchon = Zbouchon / XL ou Qbouchon = Zbouchon / XC
Calcul du facteur Q d’un circuit série :
Qsérie = XL / Zsérie = XL / R ou Qsérie = XC / Zsérie = XC / R
Pour transformer ces équations, on verra que XL (=XC) = √ (L / C) et on a vu que : Zbouchon = L / (C x R)
Pour le circuit série, on a vu que Zsérie = Rsérie et XL (=XC) = (L / C), on obtient donc :
Qsérie = (L / C) / R
Pour le circuit bouchon, en remplaçant les valeurs Zbouchon et XL (=XC) : Qbouchon = [L / (C x R)] / [ (L / C)]. Après transformation, on obtient :
Qbouchon = (L / C) / R,
soit la même formule que Qsérie
Autre présentation :
Q = (L/C/R²)
ou formule simplifiée :
Qbouchon = Qsérie = [L(µH) / C(pF)] / R (k)
Dans l’exemple du circuit bouchon ou du circuit série :
XL = 2FL = 6,28 x 3,18.106 x 25.10-6 = 499,26 500
ou XC = 1/(2FC) = 1/(6,28 x 3,18.106 x 100.10-12) = 1/(1,997.10-3) = 500,75 500
donc : Qbouchon = Zbouchon / XL = Zbouchon / XC = 12500 / 500 = 25
ou Qbouchon = (L / C) / R = (25.10-6 / 100.10-12) / 20 = (0,25.106) / 20 = 0,5.103 / 20 = 500 / 20 = 25
Qsérie = XL / R = 500 / 20 = 25 (le résultat est identique à Qbouchon bien que la formule ne soit pas la même)
En écriture naturelle :
Q = [L / C] / R = [25.10-6 / 100.10-12] / 20 = 25
Formule simplifiée :
Q = [L(µH) / C(pF)] / R (k) = (25/100) / 0,02 = 0,5 / 0,02 = 25
Et non c’est pas fini 🙂
On reprend le schéma du haut…
La tension aux bornes d’un circuit bouchon à la fréquence de résonance sera fonction de la puissance du signal à l’entrée du circuit et de son impédance à la résonance
(d’où l’autre nom du facteur Q pour un circuit bouchon :coefficient de surtension). Dans notre exemple de circuit bouchon, avec une puissance de 50 pW, correspondant à un signal S9 (soit 50 µV sous 50 , la tension aux bornes du circuit bouchon sera de :
U = (P x Z)
= (50.10-12 x 12,5.103) = (625.10(-12+3)) = 7,9.10-4= 790 µV (soit un écart égal à la racine carrée du rapport des impédances : 790 / 50 = 15,8 et (12500 / 50) = (250) = 15,8).
Dans un circuit série, le facteur Q est égal au rapport de la tension efficace aux bornes du condensateur UC divisé par la tension efficace U aux bornes du circuit RLC lorsque le circuit est à la fréquence de résonance. En effet, Q = XC / R = XC.I / R.I = UC / U. Si Q est grand, la tension aux bornes du condensateur peut prendre des valeurs élevées par rapport à la tension aux bornes de l’ensemble. Q apparaît comme un facteur de surtension.
Dans le circuit parallèle, L et C étant en parallèle, on a :
Qparallèle= Zparallèle / XL = Zparallèle / XC = R / XL= R / XC et, comme on a déjà vu, XL = XC = (L / C) d’où :
Qparallèle = R / [ (L / C)]
Dans l’exemple du circuit parallèle :
Qparallèle = R / XL = R / (2FL) = 12500 / (6,28 x 3,18.106 x 25.10-6) = 12500 / 500 = 25 ou Qparallèle = R / [(L / C)] = 12500 / [(25.10-6 / 100.10-12)] = 12500 / (0,25.106) = 12500 / 500 = 25. Avec des valeurs pour L et C identiques et lorsque Rparallèle = XL² / Rbouchon = XC² / Rbouchon = (L/C) / Rbouchon,
le circuit parallèle et le circuit bouchon ont le même facteur Q.
TABLEAU A RETENIR :
Les valeurs que prennent Z et Q selon le circuit utilisé sont récapitulées dans le tableau ci-contre. On verra une variante de la loi de Thomson : XL = XC = (L / C) à la résonance.
Le facteur Q d’un circuit détermine sa bande passante à –3 dB (B) à la fréquence de résonance : B = Fo / Q. Plus Q est élevé, plus le filtre est étroit et ses flancs sont raides et mieux les fréquences adjacentes seront rejetées.
On reprend encore le schéma du haut…
Dans les exemples ci-dessus :
Bbouchon = Bsérie = Bparallèle = 3,18 MHz / 25 = 0,127 MHz = 127 kHz
On peut vérifier les courbes caractéristiques d’un filtre grâce à un analyseur de spectre où la fréquence est en abscisse et la puissance du signal, ou sa tension, en ordonnée. La puissance est souvent indiquée en puissance relative (en dBm : décibel par rapport au milliwatt sous une impédance donnée, généralement 50 Ω). Un contacteur détermine la puissance maximum lue et deux autres contacteurs déterminent la fréquence centrale et la largeur de la plage de fréquence à explorer.
A RETENIR :
Un wobulateur est un générateur de fréquence couplé à un oscilloscope ce qui permet, en branchant le wobulateur à l’entrée de l’étage ou du filtre à mesurer, de lire la courbe de réponse en fréquence de l’amplificateur ou du filtre.
Lorsqu’un filtre est constitué de plusieurs cellules LC résonant sur la même fréquence ou dont les fréquences de résonance sont légèrement décalées (comme ci-dessous, l’atténuation des 2 cellules est en pointillé), la courbe de réponse du filtre n’est plus définie par le facteur Q mais par sa largeur de bande passante et son taux de sélectivité (ou facteur de forme). La largeur de la bande passante peut être définie à un autre niveau que –3 dB.
Nous continuons encore un peu…
Exemple
Quelle est la largeur de la bande passante à – 13 dB du signal visualisé sur l’écran de l’analyseur de spectre ?
Réponse
La puissance crête du signale mesure 39 dBm. La bande passante de ce signal à – 13 dB est la largeur du signal dont la puissance est supérieure à 26 dBm (= 39 dBm –13 dB). Les fréquences extrêmes du signal sont 540 et 600. La bande passante à – 13 dB du signal est de 60 (= 600 – 540). Si on n’avait que la graduation en volts, puisque Umaxi = 24 V, que –13 dB correspond à un rapport de puissance de 1/20 et que U = √P.R), la tension à – 13 dB sera calculée comme suit : 24 V / √20 = 24 / 4,45 = 5,4 V. Enfin, sachant que 39 dBm = 8 W et 13 dBm = 0,02 W, l’impédance du signal mesuré est : Z = U²/P = 24²/8 = 1,2²/0,02 = 72 Ω
Le taux de sélectivité
Noté (S) est le rapport (en %) obtenu en divisant B (la bande passante à –3 dB) par la bande passante à –60 dB (appelée aussi réjection ultime et notée δF à –60 dB ; δ lettre grecque minuscule delta signifiant « variations »). En pratique, d’autres niveaux de réjections ultimes peuvent être définis (-40 dB par exemple).
Le facteur de forme
Noté (f) est l’inverse du taux de sélectivité. Plus le taux de sélectivité se rapproche de 100%, plus les flancs du filtre sont raides, plus le facteur de forme se rapproche de 1 mais sans jamais l’atteindre.
S (%) = [(B x 100) / δF à -60 dB]
et f = 100 / S ou f = δF à -60 dB / B
Exemples
Dans le schéma ci-dessous représentant la courbe de réponse d’un filtre passe bande, on mesure B = 5 kHz et δF à -60 dB = 25 kHz.
Quels sont le taux de sélectivité et le facteur de forme du filtre ?
Réponses
Sélectivité = (5 x 100) / 25 = 500 / 25 = 20 %
Facteur de forme = 100 / S = 100 / 20 = 5 ou 25 / 5 = 5.
L’atténuation du signal à la sortie du filtre RLC constitué d’une seule cellule suit une courbe de Gauss et la bande passante du circuit pour une atténuation différente de 3 dB est donnée par la formule :
Bp = B x(p – 1)
avec B = Fo / Q et p = rapport de puissance de la bande passante Bp. Ainsi, un circuit RLC à une seule cellule a un facteur de forme de 1000 (soit S = 0,1%) car F à -60 dB = (1000000 – 1) x B ≈ 1000 x B.
A RETENIR :
Un ondemètre à absorption est un appareil de mesure de fréquence qui nécessite de la puissance pour fonctionner. La bobine interchangeable du circuit LC de l’ondemètre est couplée avec le signal dont on veut connaître la fréquence. Lorsque la valeur du condensateur varie, la tension aux bornes du circuit LC lue par le voltmètre de l’appareil marque un pic très net (le « dip ») indiquant que le circuit est accordé. La fréquence est relevée sur l’échelle de lecture du condensateur. Si le pic n’est pas franc, il peut s’agir d’un harmonique. Le voltmètre peut être remplacé par une lampe à incandescence dont l’éclat indique le pic de résonance.
Un grid-dip fonctionne sur le même principe mais n’a besoin d’aucune puissance externe pour fonctionner car il possède son propre générateur HF. Lorsque le circuit à mesurer résonne sur la fréquence de l’oscillateur, la consommation de ce dernier chute brutalement indiquant que le circuit est accordé.