Le dipôle c’est simple ! Pas vraiment…

Mis à jour le : 13/05/2024 à 21:33

73 à tous.

En me relisant, une fois de plus, j’ai corrigé qq sérieuses fautes d’orthographe et de grammaire. J’ai un peu honte  ! A ma décharge j’étais un peu fatigué par ces sacrés calculs  😕 Désolé…

A force de lire à droite et à gauche des articles sur le calcul théorique d’antennes, je me suis aperçu que pas mal de méthodes de calculs sont plus qu’approximatives voire carrément fausses, avec aussi des affirmations « pseudo-techniques » souvent erronées et simplistes notamment sur certains forums… Du coup, les erreurs se propagent exponentiellement de sites en sites. Alors ce n’est pas bien grave car souvent ces calculs approximatifs sont assez « proches » pour permettre un fonctionnement correct (mais pas optimisé) de l’antenne. De plus les personnes techniquement un peu plus avancées utiliseront des appareils de mesures qui au final  permettront de mettre en œuvre des actions correctives afin d’obtenir un meilleur fonctionnement de l’antenne dans son contexte de travail mais dans ce cas c’est le concepteur de l’appareil qui fait le boulot ! 😉

Modéliser mathématiquement le fonctionnement d’une antenne est très complexe.
Nous sommes obligés d’approximer ou alors il faudra dépenser des milliers d’euros en outils de modélisation de pointe pour s’approcher d’un fonctionnement optimisé dans un contexte précis.

Pour vous montrer que les calculs sur une antenne même « simple » ne se font pas au « pifomètre » ou avec des équations de 4eme et encore moins avec des concepts qui viennent d’on ne sait où… mais qu’ils demandent de bonnes compétences en mathématique ou du moins une maitrise suffisante notamment avec les nombres complexes, les intégrales. J’ai décidé de calculer théoriquement le gain d’un dipôle court et pour écrire les équations dans un format « correct » dans le site j’ai utilisé Latex. Ne m’en voulez pas trop si une erreur s’est glissée dans un terme ou un autre, je me suis relu plusieurs fois mais une erreur est toujours possible…

Les équations proviennent de Wikipédia (je n’ai rien inventé)…
Toutefois, je précise que ce n’est pas du copié/collé.

Vous allez voir que ces calculs ne sont pas si simples.
Commençons avec un exemple de calcul du gain d’une simple « antenne ».

Les personnes qui ont la licence RA savent comment on calcule le gain d’une antenne pour l’examen. Voici une version un peu plus « élaborée » que nous utiliserons plus tard avec l’exemple du dipôle court.

Le gain d’une antenne dans une direction donnée est définie comme le rapport d’une puissance par unité de surface dans la direction sélectionnée et la puissance par unité de surface rayonnée par une antenne isotrope (virtuelle) à la même puissance :

\[G=\frac{(\frac{P}{S}) ant}{(\frac{P}{S}) iso}\]

Bien entendu tous ces termes sont virtuels car dans notre réalité l’antenne isotrope n’existe absolument pas. Petite info sur le gain dans un problème donné, si aucune information n’est spécifiée  alors il s’agit du gain dans la direction où il est maximum.

Calculons maintenant le gain d’un dipôle simple, ça se complique…

(Direction) Gain max sur  :  \[θ = \frac{\mathrm \pi} {2}\] Ensuite :

\[\left|E{_θ}\right|= \frac{I_o}{2_ε{_0}{cr}}.\frac{L}{\mathrm \lambda}\]

\[\frac{P}{S}={\frac{cε_0}{2}}\left(\frac{I_0}{2ε_0 cr}\right)^2.\left(\frac{L}{\mathrm \lambda}\right)^2 \]

\[G = \frac {\frac{cε_0}{2}\frac{I_0 ^2 }{4ε_0 ^2 c ^2 r ^2} \left(\frac{L}{\mathrm \lambda}\right) ^2} {\frac {\frac{1}{2}{I_0^2 }{Rsérie}}{4 \mathrm \pi r^2}}\]

Donc :  \[ G = \frac {\mathrm \pi}{ε_0 c Rsérie}.\left(\frac{L}{\mathrm \lambda}\right)^2\]

D’où R_série :\[ R_s = \frac {2 \mathrm \pi}{3ε_0 c}.\left(\frac{L}{\mathrm \lambda}\right)^2\]

Et pour finir le gain : \[G = \frac {{\mathrm \pi}\left(\frac{L}{\mathrm \lambda}\right) ^2}{{ε_0 c}{\frac{2\mathrm \pi}{3ε_0 c}\left(\frac{L}{\mathrm \lambda}\right)^2}}\]

Pour aller un peu plus loin nous allons étudier le cas d’un dipôle court.

Avant de commencer les calculs sur le dipôle court nous utiliserons le résultat d’un calcul préalable sur la valeur du champ résultant produit par deux éléments de courant symétriques. Le courant circulant dans le même sens aux deux endroits. Je vous épargne le développement. Le résultat du calcul s’écrit de la manière suivante :

Champ résultant (somme des 2 champs) : \[dE_θ = \frac{-j d l \sin θ ωI_0}{2\mathrm \pi ε_0 c^2 r}{\cos(kl \cos θ)  \mathrm e^{\mathrm j(ωt-kr)}}\]

Bon une fois que nous avons fait ce calcul nous pouvons avancer et regarder ce qui se passe avec notre dipôle court. Notre dipôle est formé par un conducteur de longueur L << à λ et alimenté au centre. Pour calculer le champ électromagnétique rayonné il nous faudra connaitre la distribution du courant. Nous savons qu’aux extrémités le courant doit être égal à zéro (en théorie, en réalité c’est impossible car cela impliquerait que le diamètre du conducteur soit nul. On aura donc un courant non nul aux bouts). Bref,  nous allons admettre que le courant est distribué de la même manière que dans un circuit terminé par une une ligne ouverte c’est à dire qu’il aura génération d’une onde stationnaire formée par la réflexion du signal à l’extrémité et l’amplitude du courant est sinusoïdale avec un zéro aux extrémités. Ceci dit nous n’aurons pas un courant maximum au centre du dipôle, il se trouvera à λ/4 des bouts. Avec L<<λ nous pouvons simplifier la distribution de courant sinusoïdale par une distribution linéaire. En conséquence la forme du courant sera triangulaire (figure ci-dessous) avec des zéros aux extrémités et un courant I₀ au centre (point d’alimentation).

\[ I = {I_0} \left(1 – \frac {2 l}{L}\right)\]

On utilise la formule calculée au préalable et ça devient un peu plus compliqué…

\[E_θ = \frac{-j \sin θ ωI_0}{2\mathrm \pi ε_0 c^2 r}{e^\mathrm {\mathrm j(ωt-kr)}}\int_{0}^\frac{L}{2} \left(1 – \frac {2 l}{L}\right){dl}\]

\[E_θ = \frac{-j \sin θ ωI_0}{2\mathrm \pi ε_0 c^2 r}{e^\mathrm {\mathrm j(ωt-kr)}}\frac{L}{4}\]

\[E_θ = \frac{-j \sin θ ωI_0}{4\mathrm \pi ε_0 c r}{e^\mathrm {\mathrm j(ωt-kr)}}\frac{L}{λ}\]

Le diagramme de rayonnement d’un dipôle court est le même qu’un dipôle élémentaire (un tore avec le trou central réduit à 0). En comparant le champ Eθ du dipôle court avec un dipôle élémentaire on constate que celui-ci est 2 fois plus petit (que l’élémentaire). En conséquence la puissance rayonnée par unité de surface sera 4 fois plus petite que pour le dipôle élémentaire et la résistance de rayonnement sera quatre fois plus petite :

R_série :\[ R_Ω = {20\mathrm \pi ^2}.\left(\frac{L}{\mathrm \lambda}\right)^2\].

Évidement comme le diagramme de rayonnement est le même le gain G sera identique.

Voilà pour cet exemple. Alors j’ai volontairement « zappé » quelques étapes intermédiaires dans les calculs pour éviter que ce soit trop indigeste.

Vous voyez que pour un simple dipôle tout « bête » faire des calculs précis n’est pas aussi aisé que ce que l’on raconte souvent. Et encore ici j’ai simplifié… C’est ce qui fera la différence entre un « pro » (ce que je ne suis pas) capable d’élaborer et de comprendre les calculs nécessaires afin de développer et d’optimiser une antenne et un amateur qui,  éventuellement, utilisera un logiciel de modélisation comme MMANA,  MININEC ou encore NEC4. Certes le logiciel fera les calculs correctement mais c’est bien le savoir du concepteur du logiciel qui sera utilisé et pas forcément celui de l’utilisateur final. Beaucoup de personnes ont tendance à l’oublier facilement et tout aussi facilement  tendance à se prendre pour un ingénieur spécialisé. De temps en temps c’est le cas mais le plus souvent non. L’intelligence et le savoir ne sont pas forcément là où l’on pense… Celui qui utilise la calculatrice ou le logiciel utilise le savoir et l’expertise d’autres personnes pour trouver la solution/méthode, c’est un utilisateur et pas un théoricien ni un concepteur. Il faut parfois savoir rendre à César ce qui est à César !

J’en profite pour remercier toutes ces personnes pour le savoir théorique et technique qu’ils mettent à notre disposition.

Et merci aussi aux contributeurs de Wikipédia. Sur ce, je vais jeter ma calculatrice et prendre un cachet d’aspirine… 🙂